什么是一阶逻辑first logic order?

什么是一阶逻辑first logic order?
first logic order
一阶逻辑是区别于高阶逻辑的数理逻辑,它不允许量化性质。性质是一个物体的特性;所以一个红色物体被表述为有红色的特性。

一阶谓词演算或一阶逻辑(FOL)允许量化陈述的公式,比如”存在着 x,…” (x) 或 “对于任何 x,…” (砢),这里的 x 是论域(domain of discourse)的成员。一阶(递归)公理化理论是通过增加一阶句子/断定的递归可枚举集合作为公理,可以被公理化为一阶逻辑扩展的理论。这里的”…”叫做谓词并表达某种性质。谓词是适用于某些事物的表达。所以,表达”是黄色”或”喜欢椰菜”分别适用于是黄色或喜欢椰菜的那些事物。

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实际上,一阶逻辑是一种形式系统(Formal System),即形式符号推理系统,也叫一阶谓词演算、低阶谓词演算(Predicate Calculus)、限量词(Quantifier)理论,也有人称其为“谓词逻辑”,虽然这种说法不够精确。总之,不管怎么说,一阶逻辑就是一种形式推理的逻辑系统,是一种抽象推理的符号工具。
我们要注意的是,一阶逻辑不同于单纯的“命题逻辑”(Proposition Logic),因为,一阶逻辑里面使用了大量所谓“限量词变量”(Quantified variables),比如:∃x(意思是存在一个变量x),限量词符号“∃”是把字母“E”从左向右反转过来产生的,其原本的意思的“Exist”(存在);而限量词∀x(对所有的变量x),符号”∀“是将字母”A“从下向上反转而产生的,其原本意思是”All“(所有、全部)。在这里,逻辑符号”∃“和”∀“就是一阶逻辑的”限量词“(Quantifer)。实际上,在一阶逻辑的文献中,你会看到以下一阶逻辑的逻辑表达式:
∃x(Math(x)) → Prof(x)
注意:其中的箭头符号”→“表示:”如果……,那么……“的逻辑关系,而该逻辑表达式里面的字符串”Matr”与“Prof”就是所谓的逻辑“谓词”(可以任意赋值),也就是说,Math(x)的意思代表”x是数学家“,而谓词“Prof(x)”表示”x是教授“。那么,上述整个逻辑表达式的意思是:有一个(或存在一个)数学家x是教授,在严格意义上就是:如果x是数学家,那么,他必定是教授。
由此,我们可以大胆地设想,把整个数学理论内容用一阶逻辑表达式全部写出来,成果就像是一本”天书“,一般人很难看得懂。但是,布尔巴基学派偏要这样做,否则,似乎不够”意思“,不过”瘾“。因此,我们能够想像,在布尔巴基的《数学基础丛书》里面各种稀奇古怪的数学谓词多得去了。对此,有人说,这纯粹是形式主义,但是,也有人说,这就是现代数学的本来面目。
在布尔巴基心目中 ,微积分就是在实数系上的一种用一阶逻辑表达的数学结构,什么牛顿-莱布尼兹定理,其实都是一串一阶逻辑的表达式,什么”无限趋近“,什么”趋于无穷大“,这些模棱两可的糊涂说法统统不见了。倒霉的数学教员,不知如何是好。不过,仔细想想,用一阶逻辑写的教科书也很干净,什么都写的清清楚楚,一是一,二是二。在数学中用不着整天看别人的”眼色“过日子,是就是是,不是就是不是,口是心非完全没有必要。
学习一阶逻辑的要点是:弄清楚存在限量词”∃“与所有限量词”∀“的正确用法,不要被逻辑表达式所迷惑。用一阶逻辑表达式编写数学教材,节约纸张,但是,学习起来很费脑筋。为便于今后的阅读,建议读者很好的理解此文的内容。
说明:对于我们而言,一阶逻辑非常重要。今后,我们采用一边阅读,一边学习的方式逐步交代一阶逻辑的内容,大家不必担心看不懂。
说明:请看短文”什么是集合的逻辑悖论(Paradox)与集类(Classes)?“(11月18日)

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